Разбор: сферические аберрации и рисунок объективов – от «перископа» до апохромата

Материал специально для Радоживы подготовил Родион Эшмаков.

Дисклеймер: этот текст может показаться довольно сложным, но даже в этом случае я рекомендую хотя бы посмотреть картинки – они могут быть восприняты интуитивно.

Производители фототехники сегодня предлагают большой выбор объективов прекрасного качества, обеспечивающих резкую картинку. Превосходно исправленные современные объективы сложной конструкции выполняют свою задачу так, чтобы их собственное «вмешательство» в конечный результат было неощутимым – качество финальной картинки зависит от композиции, сюжета и… постобработки. Нередко при обработке снимков осуществляется намеренное снижение его «информативности»: популярно наложение эффектов вроде бликов, специфических фильтров или имитации малой глубины резкости (эффект боке). Такому «фотошопу» есть и хорошо известная аналоговая альтернатива – художественная оптика, винтажная оптика. Из-за несовершенства оптической конструкции многие старые объективы имеют характерное боке, дефекты резкости изображения, искаженную цветопередачу – чем и заменяют искусственные приемы постобработки.

Пожалуй, одним из главных факторов, влияющих на характер изображения, формируемого объективом, является сферическая аберрация, а точнее – сферические аберрации. Суть этого оптического искажения заключается в том, что объектив преобразует каждую бесконечно малую точку предмета в симметричное пятно в форме точки конечного размера с ореолом. Если аберрация проявляется на оптической оси, то есть в центральной точке изображения, то такая аберрация называется продольной. Но в светосильных объективах (яркий пример – Гелиос-44 и Гелиос-40) большую роль играет также внеосевая аберрация – так называемая сферическая аберрация наклонных пучков.

Продольная сферическая аберрация является одной из главных причин снижения детализации и контраста формируемого изображения, потому в современной оптике её присутствие обычно минимально. В то же время, картинка винтажных объективов – особенно умеренной светосилы (<F/2.8) – зачастую обусловлена проявлением именно этого искажения.
В этой статье выполнен анализ разновидностей продольной сферической аберрации, типовых профилей её коррекции, продемонстрировано влияние искажения на качество изображения и боке разных объективов – от двухлинзового «перископа» до телескопа-апохромата дифракционного качества.

Кратко о теории аберраций

Согласно теории геометрических аберраций, разработанной немецким математиком Филиппом фон Зейделем еще в 19 веке, величина отклонения хода луча монохроматического света от идеального может быть связана с параметрами оптической системы (радиусы кривизны, толщины, свойства преломляющих материалов). Зейдель предложил разложить полученную зависимость в ряд так, чтобы коэффициенты перед каждым членом ряда определялись только оптической конструкцией, а остаток отражал зависимость аберрации от угла поля зрения и величины зрачка объектива.

В разложении Зейделя фигурировали члены ряда с максимальным суммарным порядком зависимостей от угла и зрачка объектива, равным 3, потому развитая им теория была названа теорией аберраций третьего порядка: S1 (сферическая аберрация, ~R^3), S2 (кома, ~R^2•W), S3 (астигматизм, R•W^2), S4 (кривизна поля, R•W^2), S5 (дисторсия, ~W^3), где R – размер зрачка объектива, а W – угол поля зрения.

Теория Зейделя удовлетворительно описывает лишь оптические системы с небольшими угловыми полями и низкой светосилой, к которым большинство фотообъективов не относится. Таким образом, ряд аберраций Зейделя обычно дополняется членами более высоких порядков – 5, 7, 9 – особенно когда речь идет о светосильной оптике.

Стоит отметить, что разложение, предложенное Зейделем, оказалось неудобным для вычислений, проводимых с помощью компьютеров, а потому ныне в основном используют несколько менее наглядное представление в виде разложения в ряд ортогональных полиномов Цернике, до боли напоминающих видом волновые функции орбиталей электронов в атоме. К счастью, конкретно сферические аберрации разных порядков в представлениях Зейделя и Цернике близки.

Продольная сферическая аберрация: порядки, хроматизм и зоны

Итак, продольная сферическая аберрация бывает разных порядков (по Зейделю): 3, 5, 7 и т.д. Сферические аберрации высших порядков необходимо принимать во внимание при расчете светосильных систем, поскольку их величина крайне сильно (в 5, 7, 9 степени) зависит от величины зрачка объектива. Исправление продольной сферической аберрации достигается за счет взаимной компенсации искажений всех наблюдаемых порядков. Иными словами, в объективе, в котором проявлены сферические аберрации 3 и 5 порядков бесполезно нивелировать только аберрации 3 порядка, но эффективно подобрать величины искажений так, чтобы их сумма была минимальной.
Есть в этом существенные сложности. Во-первых, из-за явления дисперсии света величина сферической аберрации для света разных длин волн различается, что порождает самое злостное искажение для светосильной оптики – сферохроматизм, то есть хроматизм сферической аберрации. Те самые расплывчатые пурпурные/зеленые или синие/оранжевые окантовки, которые все ненавидят. Чтобы их не было, объектив должен иметь близкие величины сферической аберрации для всех длин волн рабочего диапазона.

Кроме того, преломление краевых и центральных лучей падающего пучка света в объективе происходит неодинаково – иначе аберраций вообще не было бы. Одиночную линзу или зрачок объектива можно разбить на систему концентрических колец по типу мишени для стрельбы, и в каждом выделенном кольце соотношение аберраций разных порядков будет своим. Следовательно, можно выделить так называемые зоны зрачка объектива, в которых доминирует та или другая аберрация.

Чем это может быть полезно? Прежде всего рассмотрение распределения аберраций по зонам зрачка помогает оценить изменение изображения с диафрагмированием объектива, когда «выключаются» из работы самые крайние, как правило, наиболее «проблемные» зоны. Регулирование зонального распределения сферической аберрации – ключ к управлению боке объектива при расчете и важнейший способ балансировки качества изображения при полной и ограниченной апертурах.

Продольная аберрация реального объектива: классический случай – Триплет F/2.8

Продольная аберрация реального объектива может быть представлена в виде графика зависимости положения фокуса лучей заданной длины волны от зоны зрачка. Ниже такая диаграмма с некоторыми дополнительными пояснениями приведена для объектива Триплет 78/2.8. Рассмотрим её подробно.

Как можно заметить, кривые продольной аберрации представляет собой пучок, который можно разделить на два участка: 1) участок отклонения в левую часть диаграммы – зона зрачка D от 0 до ~20 мм (F/4), 2) участок отклонения в правую часть графика – зона зрачка от ~20 (F/4) до ~30 мм (F/2.8). Отклонение позиции фокуса в сторону отрицательных значений связано с недоисправлением искажения, а в сторону положительных – переисправления. Очень удобно различать эти аберрации по форме пятен дефокуса: размытие заднего плана в виде диска с окантовкой – признак переисправленной сферической аберрации, а присутствие в диске боке яркого центра – свидетельство недоисправления сферической аберрации.

Если рассчитать величины площади первой и второй зон, то окажется, что в этом объективе зона с недоисправленной сферической аберрацией составляет 44% площади зрачка, а переисправленной – 56% площади зрачка. С учетом превалирования величины положительного отклонения над отрицательным, это означает, что вклад переисправленных аберраций на открытой диафрагме будет значительно выше, чем недоисправленных, то есть можно ожидать, что диск боке объектива на открытой диафрагме будет иметь яркую кайму и яркий, но в гораздо меньше степени, центр. И действительно: при F/2.8 и при F/3 диск боке на оптической оси в зафокусе имеет предсказанный вид. При диафрагмировании до F/4, когда нивелируется влияние зоны зрачка с переисправленной сферической аберрацией, в пятне боке остается только яркий центр, в то время как кайма исчезает. Похожие изменения происходят и с внеосевыми пятнами, хотя в этом случае большое влияние оказывают и другие оптические искажения.

Полученные с помощью моделирования диаграммы пятен боке (F/2.8-F/3) хорошо соответствуют наблюдаемым при съемке этим объективом.

Как следует из приведенных выше изображений, рассматриваемый объектив страдает выраженным сферохроматизмом: ширина пучка кривых продольной аберрации в параксиальной и самой внешней зонах различается в 4 раза. Это не делает качество изображения на обычной камере катастрофически плохим только благодаря относительно низкой спектральной чувствительности матриц в наиболее проблемном диапазоне 400-440 нм. Выраженная сферохроматика приводит к появлению неравномерного окрашивания яркой каймы диска боке.

 

Важно заметить, что зона зрачка с превалирующим вкладом недоисправленных аберраций охватывает больший диапазон апертур в сравнении с зоной зрачка с превалирующим вкладом переисправленных аберраций. Это означает, что небольшого ограничения апертуры вполне достаточно, чтобы качество изображения существенно выросло. Действительно: даже при диафрагмировании на 1/3 EV размер аберрационных пятен объектива резко уменьшается, а диафрагмирование на целую ступень обеспечивает близкое к оптимальному для этого объектива качество изображения в центральной области.

Уменьшение размера гало вокруг пятен при диафрагмировании связано с ликвидацией зоны зрачка 20-30 мм, ответственной за проявление выраженных переисправленных сферических аберраций. Таким образом, ограничение апертуры способствует росту контраста изображения на средних частотах 10 и 30 лин/мм, увеличению разрешающей способности объектива.

Отметим, что при D=0 мм горизонтальная координата на графике продольной аберрации не равна нулю, то есть для компенсации искажений используется дефокусировка. В таком случае при диафрагмировании объектива наблюдается смещение фокальной плоскости (точнее – плоскости наилучшей установки), что называют обычно «focus shift». Объективы, страдающие от фокус-шифта, ограниченно применимы в съемке на дальномерные камеры и при использовании прыгающей или предустанавливаемой диафрагмы. Проблема стоит особенно остро, когда речь идет о камерах с матрицей высокого разрешения или камерах среднего и большого форматов. Так, именно из-за фокус-шифта в 1950-х в ГДР полностью отказались от комплектования камер Pentacon Six объективами Tessar 80/2.8 в пользу более сложных объективов Biometar 80/2.8.

Какие же именно сферические аберрации играют решающую роль в формировании рисунка объектива Триплет F/2.8? Чтобы получить ответ на этот вопрос, необходимо вычислить значения членов ряда Цернике, соответствующих продольной аберрации, для разных апертур объектива: Z4 (дефокусировка), Z9 (первичная сферическая аберрация), Z16 (вторичная сферическая аберрация) и Z25 (третичная сферическая аберрация). Учет членов ряда более высоких порядков для этого объектива не требуется: их значения близки к нулю. Сумма вычисленных значений является полной величиной продольной аберрации. Результаты представлены на диаграмме ниже.

В этом объективе при апертурах ниже F/4 (D~20 мм) используется компенсация первичной сферической аберрации Z9 с помощью дефокусировки Z4. При больших значениях относительного отверстия вплоть до ~F/3 (D~25 мм) первичная сферическая аберрация исправлена за счет вторичной. Далее, однако, никакой взаимной компенсации первичной и вторичной аберраций уже не наблюдается. Более того, начинают себя проявлять уже третичные искажения. Перейдя к терминологии аберраций Зейделя, можно сказать, что характерная картинка этого объектива в центральной области изображения формируется сферическими аберрациями 3, 5 и, в значительно меньшей степени, 7 порядков; причем их исправление не достигается для зоны зрачка в диапазоне апертур от ~F/3.5 до F/2.8.

Теперь рассмотрим кратко еще некоторые яркие примеры.

Объектив с неисправленной сферической аберрацией – «перископ» F/4.5

Простейший объектив «перископ», состоящих из двух положительных линз и применявшийся в качестве штатного для самых дешевых фотокамер в начале 20 века, характеризуется неисправленными сферической и хроматической аберрациями. Как и «монокль», объективы такой конструкции нередко применяются как мягкорисующие.

Диаграммы продольной аберрации, аберрационных пятен и дисков боке для рассчитанного мною объектива с параметрами 50/4.5 приведены ниже.

Как видно по графику продольных искажений, объектив имеет недоисправленную сферическую аберрацию в любой зоне зрачка, а также совершенно неисправленный хроматизм, что и неудивительно: в схеме даже нет ни одной отрицательной линзы. Единственный способ контроля искажений в этом объективе – диафрагмирование. Так, ограничение апертуры на 1 ступень приводит к двукратному уменьшению размеров аберрационных пятен, а значит – повышению разрешения и контраста. Дифракционное качество объектив обеспечивает при относительном отверстии ~F/22: в этом случае достижима разрешающая способность ~50 лин/мм, определяемая протяженностью хроматического спектра.

Пятна размытия заднего плана такого объектива не имеют четкого канта, но обладают ярким центром. Обратная ситуация наблюдается в пятнах дефокуса переднего плана, где диски имеют выраженную яркую кайму. Расчетный вид пятен боке объектива «перископ» в полной мере соответствует наблюдаемому для серийно производимого проекционного объектива «Главучтехпром» 77/2. Примеры фотографий, выполненных этим объективом, приведены далее.

Объектив с неисправленной сферической аберрацией наклонных пучков – Гелиос-40 85/1.5

Светосильный объектив Гелиос-40 85/1.5 очень известен благодаря своеобразному выразительному размытию заднего плана. В Сети можно встретить множество дискуссий на тему причин происхождения «того самого» боке Гелиос-40, и на сей раз этому будет дано исчерпывающее объяснение.

Диаграммы продольной аберрации, аберрационных пятен и дисков боке для объектива Гелиос-40 приведены ниже.

Во-первых, стоит отметить, что на оптической оси продольные искажения в Гелиос-40 85/1.5 исправлены даже лучше, чем в Триплете 78/2.8: объектив имеет очень хорошо скомпенсированные (хоть и слегка недоисправленные) искажения в зоне зрачка вплоть до ~F/2, а также довольно малый хроматизм для параксиальной зоны. В зоне зрачка F/2-F/1.5 продольные аберрации переисправлены, присутствует выраженный сферохроматизм. Следовательно, диафрагмирование до F/2 должно делать Гелиос-40 очень резким объективом в центральной области изображения – что и подтверждается расчетными аберрационными пятнами.

При рассмотрении пятен дефокуса заднего плана можно обнаружить, что для точки на оси при апертуре F/1.5 пятно имеет небольшую окантовку, появление которой обусловлено аберрациями зоны зрачка F/2-F/1.5. С диафрагмированием объектива до F/2 кант диска пропадает. Для внеосевых пятен, однако, эта окантовка пятен присутствует и на F/1.5, и на F/2, причем становится тем более выражена, чем дальше находится пятно от центра изображения. Несмотря на то, что из-за виньетирования (обрезки зрачка спереди и сзади апертурной диафрагмы объектива оправами линз) внеосевые пятна имеют форму лимончиков, очевидно, что наблюдаемая кайма совершенно симметрична, а значит также связана с проявлением сферической аберрации. Действительно, аберрационные пятна объектива при F/1.5 также обладают почти симметричным гало тем большим, чем дальше от оси находятся пятна.

Это оптическое искажения и является сферической аберрацией наклонных пучков – отсутствующей на оптической оси, но быстро прирастающей по мере удаления от неё. Если бы эта аберрация не присутствовала в таких объективах, как Гелиос-40 85/1.5, Biotar 75/1.5, Гелиос-44 58/2, ОКС1-75-1 75/2, ОКС4-75-1 75/2.8, ОФ-233 210/2.5, ЛОМО П-5, то их боке не было бы в той самой манере «закрученным» и выразительным. Другие искажения (например, кома) могут вызывать эффект закрутки фона, но из-за асимметрии они придают боке вид чешуи, что для Гелиос-40 несвойственно. Сферическая аберрация наклонных пучков оказывает значительное влияние на формируемое объективом Гелиос-40 изображение при дафрагмах F/1.5 – F/2.8, что означает, что при F/2.8 объектив фон закручивать уже не будет.

Ниже приведены примеры фотографий на объектив Гелиос-40 при разных апертурах.

Сферические аберрации в длиннофокусном апохромате типа «АПО Таир» дифракционного качества

В оптических приборах по типу телескопов с большой апертурой и дифракционным качеством присутствие сферических аберраций, особенно для внешних зон зрачка, недопустимо, поскольку влечет существенное ухудшение качества изображения. Рассмотрим рассчитанный мною пятилинзовый объектив-астрограф 800/8, выполненный по схеме типа «АПО Таир».

Характеризующие свойства объектива графики приведены ниже.

Как и полагается, в этом объективе в высочайшей степени исправлены и сферические, и хроматические аберрации. Сферохроматизм, можно сказать, отсутствует, и протяженность продольных искажений в диапазоне 400-700 нм при полной апертуре составляет 115 микрон, что в 7 раз меньше, чем для упомянутого выше Гелиос-40 при F/1.5. За счет этого аберрационное пятно объектива в центральной области изображения вписывается в размер диска Эйри, что и означает соответствие качества дифракционному. Разрешение объектива составляет ~130 лин/мм.

Практически полное исправление сферических аберраций приводит тому, что вид пятен дефокуса без малого одинаков для переднего и заднего планов. Но можно ли такое достичь в светосильной оптике?

Коррекция сферохроматических аберраций в особо светосильном телеобъективе 150/1.4

Итак, контроль продольных исажений в светосильных объективах, как можно было увидеть на примере Гелиос-40 85/1.5 – это задача, требующая применения более сложных оптических схем и современных оптических материалов. Исправление монохроматической сферической аберрации достигается за счет использования высокопреломляющих стекол, а хроматическая разность может быть уменьшена лишь только за счет применения материалов с аномальной дисперсией: фторфосфатных, фосфатных и тяжелых фосфатных кронов, тяжелых ниобиевых и танталовых флинтов, особых флинтов.

Сложные высококачественные светосильные объективы крайне полезны в тех сферах применения, где основную ценность имеет информативность снимка, а любые оптические искажения, ухудшающие качество – неприемлемы. Астрофотография является ярким примером области применения такой оптики: высокая светосила полезна для быстрого экспонирования, а аберрации должны быть хорошо исправлены, чтобы звезды в кадре выглядели как точки. Так, для съемки звездных полей хорошо подходят современные светосильные телеобъективы: Samyang 135/2, Canon 200/2.

С учетом этого известного опыта, в 2022 году у меня возникла идея по созданию сверхсветосильного объектива-астрографа с параметрами 150/1.4, расчёт которого был реализован Владимиром Богданковым (на тот момент я не умел считать оптику), а механическая конструкция спроектирована Артёмом Тимирёвым – с учетом всех вложенных мною концепций и требований. Оптическая схема объектива была нами запатентована в 2024 году (RU 2822998 C1).

Объектив имеет девятилинзовую конструкцию с использованием 4 линз из стекла с низкой дисперсией (типа флюорита). Рассмотрим некоторые его характеристики в контексте тематики этой статьи.

Исходя из графика частотно-контрастной характеристики (MTF) видно, что объектив отличается высокой разрешающей способностью на открытой диафрагме – более 100 лин/мм, что, например, для Гелиос-40 при F/1.5 недостижимо. Аберрационные пятна на при полной апертуре имеют невыраженное сферохроматическое гало в центре изображения и небольшой коматический хвост на краю поля. При диафрагмировании до F/2 качество изображения становится превосходным и в центральной области, и по полю: уходят как сферохроматизм, так и кома.

Действительно: диаграмма продольной аберрации объектива указывает на то, что в зоне зрачка ~F/2-F/1.4 можно наблюдать нескомпенсированную сферическую аберрацию, причем различную для света разных длин волн. Притом стоит отметить, что даже в зоне F/1.4 протяженность хроматической аберрации составляет всего 300 микрон. Для сравнения: вторичный спектр Таир-3 300/4.5 при F/4.5 составляет 1500 микрон. Уже при F/1.6-F/1.8 сферохроматизм становится несущественным. В зоне зрачка объектива вплоть до ~F/1.8 достигнута превосходная компенсация сферической аберрации: пучок кривых на графике продольных искажений не уходит в стороны, никуда не изгибается. Это также важно и потому, что за счет такой коррекции объектив не имеет фокус-шифта, что полезно в астрофотографии.

Высокая степень коррекции продольных искажений приводит к тому, что боке объектива в центральной области совершенно нейтрально: пятна дефокуса как заднего плана, так и переднего выглядят идентично – как и у рассмотренного выше АПО Таира. По полю тот же эффект достигается при F/1.6-F/1.8, что является свидетельством ликвидации остаточной комы.

Заключение

Итак, продольные искажения – совокупность сферической аберрации и хроматизма – оказывают решающее влияние на качество изображения объектива и его рисунок (боке). Коррекция сферической аберрации осуществляется за счет взаимной компенсации её компонент разных порядков, что приводит к нескольким типам её исправления в объективе – их кривые представлены на рисунке ниже.

Диаграммы пятен дефокуса для кривой каждого из рассматриваемых типов, обозначенных номерами, приведены далее для открытой апертуры и при диафрагмировании на 1 ступень.

Указанные графики учитывают только монохроматическую сферическую аберрацию. В случае, когда сферохроматизм сильно выражен, имеет смысл рассматривать отдельно кривые для значимых длин волн, понимая, что конечный вид боке будет определяться суперпозицией всех аберрационных кривых.

Не стоит забывать, что многие современные и старые объективы имеют еще более сложный вид кривых с большим количеством разных по типу исправления продольной аберрации зон, что, впрочем, не мешает применять описанный в этой статье подход к их изучению.

Также из проведенного анализа следует, что в сложной оптической системе при помощи балансировки аберраций разных порядков можно довольно гибко контролировать продольные искажения в каждой зоне зрачка объектива. Это означает, что при выполнении расчёта в случае наличия достаточного количества варьируемых параметров конструкции можно буквально задавать требуемый рисунок объектива и контролировать его боке, не проваливаясь при этом сильно в качестве изображения в целом. Таким образом, расчёт рисунка оптики – это еще одна задача помимо обеспечения нужного уровня качества, которая должна выполняться инженером-оптиком при создании фотографического объектива.