Análise: aberrações esféricas e design de lentes – do “periscópio” ao apocromático

Material especialmente para Radozhiva preparado Rodion Eshmakov.

Disclaimer: Este texto pode parecer bastante complexo, mas mesmo assim recomendo pelo menos olhar as imagens - elas podem ser percebidas intuitivamente.

Os fabricantes de equipamentos fotográficos oferecem hoje uma grande variedade de lentes de excelente qualidade que fornecem imagens nítidas. Lentes modernas perfeitamente corrigidas e de design complexo realizam sua tarefa de tal forma que sua própria “interferência” no resultado final é imperceptível - a qualidade da imagem final depende da composição, do assunto e... do pós-processamento. Muitas vezes, ao processar imagens, há uma redução deliberada em seu “conteúdo informativo”: é comum aplicar efeitos como brilho, filtros específicos ou simular uma profundidade de campo rasa (efeito bokeh). Há também uma alternativa analógica bem conhecida para esse “Photoshop” - ótica artística, ótica vintage. Devido ao design óptico imperfeito, muitas lentes antigas apresentam bokeh característico, defeitos na nitidez da imagem e reprodução de cores distorcida – que é substituída por técnicas artificiais de pós-processamento.

Talvez um dos principais fatores que influenciam a natureza da imagem formada pela lente seja a aberração esférica, ou mais precisamente, as aberrações esféricas. A essência dessa distorção óptica é que a lente transforma cada ponto infinitesimal do objeto em um ponto simétrico na forma de um ponto de tamanho finito com um halo. Se a aberração aparecer no eixo óptico, ou seja, no ponto central da imagem, então tal aberração é chamada de longitudinal. Mas em lentes rápidas (um exemplo notável é Hélios-44 и Hélios-40) A aberração fora do eixo também desempenha um papel importante - a chamada aberração esférica de vigas inclinadas.

A aberração esférica longitudinal é uma das principais razões para a redução de detalhes e contraste da imagem formada, portanto na óptica moderna sua presença costuma ser mínima. Ao mesmo tempo, a imagem das lentes vintage - especialmente aquelas de abertura moderada (
Este artigo analisa os tipos de aberração esférica longitudinal, perfis típicos para sua correção, e demonstra o efeito da distorção na qualidade da imagem e bokeh de diferentes lentes - de duas lentes "periscópio» a um telescópio apocromático com qualidade de difração.

Resumidamente sobre a teoria das aberrações

De acordo com a teoria das aberrações geométricas desenvolvida pelo matemático alemão Philipp von Seidel já no século 19, a magnitude do desvio do caminho do feixe de luz monocromática do ideal pode ser associada aos parâmetros do sistema óptico (raios de curvatura, espessura, propriedades dos materiais refrativos). Seidel propôs expandir a dependência resultante em uma série de modo que os coeficientes na frente de cada membro da série sejam determinados apenas pelo design óptico, e o restante reflita a dependência da aberração no ângulo do campo de visão e no tamanho da pupila do cristalino.

A expansão de Seidel incluiu membros da série com ordem total máxima de dependência do ângulo e da pupila da lente igual a 3, portanto a teoria que ele desenvolveu foi chamada de teoria das aberrações de terceira ordem: S1 (aberração esférica, ~R^3 ), S2 (coma, ~R^2 •W), S3 (astigmatismo, R•W^2), S4 (curvatura de campo, R•W^2), S5 (distorção, ~W^3), onde R é o tamanho da pupila da lente e W é o ângulo do campo de visão.

A teoria de Seidel descreve satisfatoriamente apenas sistemas ópticos com pequenos campos angulares e baixos luminosidade, o que a maioria das lentes fotográficas não são. Assim, a série de aberrações de Seidel é geralmente complementada por termos de ordens superiores - 5, 7, 9 - especialmente quando se trata de óptica de alta abertura.

Vale ressaltar que a expansão proposta por Seidel revelou-se inconveniente para cálculos realizados em computadores e, portanto, agora eles utilizam principalmente uma representação um pouco menos visual na forma de expansão em uma série de ortogonais Polinômios de Zernike, ao ponto da dor reminiscente visão das funções de onda dos orbitais de elétrons em um átomo. Felizmente, as aberrações especificamente esféricas de diferentes ordens nos conceitos de Seidel e Zernike estão próximas.

Aberração esférica longitudinal: ordens, cromatismo e zonas

Assim, a aberração esférica longitudinal ocorre em diferentes ordens (de acordo com Seidel): 3, 5, 7, etc. As aberrações esféricas de ordens superiores devem ser levadas em consideração no cálculo de sistemas de alta abertura, uma vez que sua magnitude depende extremamente fortemente (por potências 5, 7, 9) do tamanho da pupila da lente. A correção da aberração esférica longitudinal é conseguida através da compensação mútua de distorções de todas as ordens observadas. Ou seja, numa lente que apresenta aberrações esféricas de 3ª e 5ª ordens, é inútil nivelar apenas as aberrações de 3ª ordem, mas é eficaz selecionar a magnitude das distorções para que a sua soma seja mínima.
Existem dificuldades significativas nisso. Em primeiro lugar, devido ao fenómeno dispersão de luz A magnitude da aberração esférica para luz de diferentes comprimentos de onda difere, o que dá origem à distorção mais maliciosa para óptica de alta abertura - esferocromatismo, ou seja, o cromatismo da aberração esférica. Aquelas bordas difusas em roxo/verde ou azul/laranja que todo mundo odeia. Para evitá-los, a lente deve ter valores semelhantes de aberração esférica para todos os comprimentos de onda da faixa operacional.

Além disso, a refração da borda e dos raios centrais do feixe de luz incidente na lente ocorre de maneira diferente - caso contrário, não haveria nenhuma aberração. Uma única lente ou pupila objetiva pode ser dividida em um sistema de anéis concêntricos semelhantes a um alvo de tiro, e em cada anel selecionado a proporção de aberrações de diferentes ordens será diferente. Consequentemente, é possível identificar as chamadas zonas da pupila da lente nas quais uma ou outra aberração domina.

Como isso pode ser útil? Em primeiro lugar, a consideração da distribuição das aberrações pelas zonas da pupila ajuda a avaliar a mudança na imagem com a abertura da lente, quando as zonas mais externas, via de regra, mais “problemáticas” são “desligadas” de operação. Ajustar a distribuição zonal da aberração esférica é a chave para controlar o bokeh da lente nos cálculos e é a forma mais importante de equilibrar a qualidade da imagem em aberturas completas e limitadas.

Aberração longitudinal de uma lente real: case clássico - Triplet F/2.8

A aberração longitudinal de uma lente real pode ser representada como um gráfico da dependência da posição do foco dos raios de um determinado comprimento de onda na zona da pupila. Abaixo está um diagrama com algumas explicações adicionais para a lente Trigêmeo 78/2.8. Vejamos isso em detalhes.

Como você pode ver, as curvas de aberração longitudinal são um feixe que pode ser dividido em duas seções: 1) uma seção de desvio para o lado esquerdo do diagrama - zona pupilar D de 0 a ~20 mm (F/4), 2 ) uma seção de desvio para o lado direito do gráfico – zona da pupila de ~20 (F/4) a ~30 mm (F/2.8). O desvio da posição do foco para valores negativos está associado à subcorreção da distorção e para valores positivos – sobrecorreção. É muito conveniente distinguir essas aberrações pela forma dos pontos de desfocagem: o desfoque do fundo na forma de um disco com uma borda é um sinal de aberração esférica supercorrigida e a presença de um centro brilhante no disco bokeh é uma evidência de subcorreção da aberração esférica.

Se calcularmos a área da primeira e segunda zonas, verifica-se que nesta lente a zona com aberração esférica subcorrigida é 44% da área da pupila, e a zona supercorrigida é 56% da área da pupila. Levando em consideração a prevalência do desvio positivo sobre o negativo, isso significa que a contribuição das aberrações supercorrigidas em abertura aberta será significativamente maior do que as subcorrigidas, ou seja, podemos esperar que o disco bokeh de uma lente em abertura aberta terá uma borda brilhante e um centro brilhante, mas em muito menor grau. E de fato: em F/2.8 e em F/3, o disco bokeh no eixo óptico fora de foco tem a aparência prevista. Quando a abertura cai para F/4, quando a influência da zona da pupila com aberração esférica supercorrigida é neutralizada, apenas o centro brilhante permanece no ponto bokeh, enquanto a borda desaparece. Mudanças semelhantes ocorrem com pontos fora do eixo, embora neste caso outras distorções ópticas também tenham grande influência.

Os diagramas de pontos bokeh obtidos usando simulação (F/2.8-F/3) correspondem bem aos observados ao fotografar com esta lente.

Como se depreende das imagens acima, a lente em questão sofre de esferocromatismo pronunciado: a largura do feixe das curvas de aberração longitudinal nas zonas paraxial e mais externa difere por um fator de 4. Isso não torna a qualidade da imagem em uma câmera convencional catastroficamente ruim apenas devido à sensibilidade espectral relativamente baixa das matrizes na faixa mais problemática de 400-440 nm. A esferocromatismo pronunciada leva ao aparecimento de coloração irregular da borda brilhante do disco bokeh.

 

É importante notar que a zona da pupila com uma contribuição predominante de aberrações subcorrigidas cobre uma gama maior de aberturas em comparação com a zona da pupila com uma contribuição predominante de aberrações sobrecorrigidas. Isto significa que uma ligeira restrição da abertura é suficiente para melhorar significativamente a qualidade da imagem. Na verdade: mesmo quando a abertura é definida para 1/3 EV, o tamanho dos pontos de aberração da lente diminui drasticamente e a abertura de um ponto final fornece uma qualidade de imagem na área central próxima da ideal para esta lente.

A diminuição do tamanho do halo ao redor das manchas ao parar está associada à eliminação da zona pupilar de 20-30 mm, responsável pela manifestação de pronunciadas aberrações esféricas supercorrigidas. Assim, limitar a abertura contribui para um aumento no contraste da imagem nas frequências médias de 10 e 30 linhas/mm e um aumento na resolução da lente.

Observe que em D=0 mm a coordenada horizontal no gráfico de aberração longitudinal não é zero, ou seja, a desfocagem é usada para compensar a distorção. Nesse caso, ao abrir a lente, observa-se uma mudança no plano focal (mais precisamente, o plano de melhor configuração), que costuma ser chamado de “mudança de foco”. Lentes que sofrem mudança de foco são de uso limitado ao fotografar com câmeras rangefinder e ao usar uma abertura saltante ou predefinida. O problema é especialmente grave quando se trata de câmeras com sensores de alta resolução ou câmeras de médio e grande formato. Então, foi precisamente por causa da mudança de foco que na década de 1950 a RDA abandonou completamente equipar as câmeras Pentacon Six com lentes Tessar 80/2.8 em favor de lentes mais complexas Biometar 80/2.8.

Quais são exatamente as aberrações esféricas que desempenham um papel decisivo na formação do padrão da lente Triplet F/2.8? Para responder a esta questão, é necessário calcular os valores dos termos da série Zernike correspondentes à aberração longitudinal para diferentes aberturas de lente: Z4 (desfocagem), Z9 (aberração esférica primária), Z16 (aberração esférica secundária) e Z25 (aberração esférica terciária). A contabilização de termos de uma série de ordens superiores não é necessária para esta lente: seus valores são próximos de zero. A soma dos valores calculados é a aberração longitudinal total. Os resultados são apresentados no diagrama abaixo.

Esta lente usa compensação para aberração esférica primária em aberturas abaixo de F/4 (D~20 mm) Z9 usando desfocagem Z4. Em grandes valores de abertura relativa até ~F/3 (D~25 mm), a aberração esférica primária é corrigida devido à secundária. Além disso, porém, nenhuma compensação mútua de aberrações primárias e secundárias é observada. Além disso, as distorções terciárias já começam a manifestar-se. Passando à terminologia das aberrações de Seidel, podemos dizer que a imagem característica desta lente na área central da imagem é formada por aberrações esféricas de 3, 5 e, em muito menor grau, 7 ordens; Além disso, a sua correção não é alcançada para a zona da pupila na faixa de abertura de ~F/3.5 a F/2.8.

Agora vamos examinar brevemente alguns exemplos mais marcantes.

Lente com aberração esférica não corrigida - F/4.5 “periscópio”

A lente “periscópio” mais simples, composta por duas lentes positivas e usada como lente padrão para as câmeras mais baratas no início do século XX, é caracterizada por aberrações esféricas e cromáticas não corrigidas. Como "monóculo", lentes deste design são frequentemente usadas como desenho suave.

Diagramas de aberração longitudinal, pontos de aberração e discos bokeh para a lente que calculei com parâmetros 50/4.5 são mostrados abaixo.

Como pode ser visto no gráfico de distorção longitudinal, a lente apresenta aberração esférica subcorrigida em qualquer zona da pupila, além de cromatismo completamente não corrigido, o que não é surpreendente: não há sequer uma única lente negativa no design. A única maneira de controlar a distorção nesta lente é parando. Assim, limitar a abertura em 1 ponto leva a uma redução dupla no tamanho dos pontos de aberração, o que significa um aumento na resolução e no contraste. A lente fornece qualidade de difração com uma abertura relativa de ~F/22: neste caso, é possível obter uma resolução de ~50 linhas/mm, determinada pelo comprimento do espectro cromático.

Os pontos de desfoque de fundo dessas lentes não têm uma borda nítida, mas um centro brilhante. A situação oposta é observada em pontos de desfocagem do primeiro plano, onde os discos apresentam uma borda brilhante pronunciada. A aparência calculada dos pontos bokeh da lente do periscópio corresponde totalmente àquela observada para uma lente de projeção produzida comercialmente "Glavuchtechprom" 77/2. Exemplos de fotografias tiradas com esta lente são fornecidos abaixo.

Lente com aberração esférica de feixes oblíquos não corrigida - Helios-40 85/1.5

Lente rápida Hélios-40 85/1.5 muito famoso por seu desfoque de fundo distinto e expressivo. Na Internet você pode encontrar muitas discussões sobre as razões da origem do “mesmo” bokeh Helios-40, e desta vez será dada uma explicação abrangente.

Diagramas de aberração longitudinal, pontos de aberração e discos bokeh para a lente Helios-40 são mostrados abaixo.

Em primeiro lugar, é importante notar que no eixo óptico, as distorções longitudinais no Helios-40 85/1.5 são corrigidas ainda melhor do que no Triplet 78/2.8: a lente compensou muito bem (embora ligeiramente mal corrigida) distorções na área da pupila até ~F /2, bem como cromatismo bastante baixo para a zona paraxial. Na zona pupilar F/2-F/1.5, as aberrações longitudinais são supercorrigidas e há presença de esferocromatismo pronunciado. Portanto, a abertura até F/2 deve tornar a Helios-40 uma lente bastante nítida na área central da imagem – o que é confirmado pelos pontos de aberração calculados.

Ao examinar os pontos de desfocagem do fundo, você pode descobrir que para um ponto no eixo com uma abertura de F/1.5, o ponto tem uma pequena franja, cuja aparência é devida a aberrações da zona da pupila F/2-F/1.5 . Quando a abertura da lente chega a F/2, a borda do disco desaparece. Para pontos fora do eixo, no entanto, esta franja de pontos está presente tanto em F/1.5 quanto em F/2 e se torna mais pronunciada quanto mais longe o ponto estiver do centro da imagem. Apesar de devido à vinheta (corte da pupila na frente e atrás do diafragma de abertura da lente pelas armações da lente) os pontos fora do eixo terem o formato de limões, é óbvio que a borda observada é completamente simétrica e, portanto também está associado à manifestação de aberração esférica. Na verdade, os pontos de aberração da lente em F/1.5 também possuem um halo quase simétrico, tanto maior quanto mais distantes do eixo os pontos estão.

Esta distorção óptica é uma aberração esférica de feixes inclinados - ausente no eixo óptico, mas aumentando rapidamente com a distância dele. Se esta aberração não estivesse presente em lentes como Hélios-40 85/1.5, Biotar 75/1.5, Hélios-44 58/2, ОКС1-75-1 75/2, OKS4-75-1 75/2.8, OF-233 210/2.5, LOMO P-5, então seu bokeh não seria “redemoinho” e expressivo da mesma maneira. Outras distorções (como coma) podem fazer com que o fundo gire, mas devido à assimetria elas dá ao bokeh a aparência de escamas, o que é incomum para o Helios-40. A aberração esférica dos feixes oblíquos tem um impacto significativo na imagem formada pela lente Helios-40 nas aberturas F/1.5 - F/2.8, o que significa que em F/2.8 a lente não irá mais girar o fundo.

Abaixo estão exemplos de fotografias tiradas com a lente Hélios-40 em diferentes aberturas.

Aberrações esféricas em um apocromático de foco longo do tipo APO Tair de qualidade de difração

Em instrumentos ópticos como telescópios com grande abertura e qualidade de difração, a presença de aberrações esféricas, especialmente para as zonas externas da pupila, é inaceitável, pois acarreta uma deterioração significativa na qualidade da imagem. Consideremos uma lente astrográfica de cinco elementos 800/8, desenhada por mim, feita de acordo com o esquema do tipo “APO Tair”.

As propriedades características das lentes gráficas são fornecidas abaixo.

Como esperado, tanto esféricos quanto aberração cromática. Pode-se dizer que o esferocromatismo está ausente, e a extensão da distorção longitudinal na faixa de 400-700 nm em abertura total é de 115 mícrons, o que é 7 vezes menor do que para o Helios-40 mencionado acima em F/1.5. Devido a isso, o ponto de aberração da lente na área central da imagem se ajusta ao tamanho do disco Airy, o que significa que a qualidade corresponde à difração. A resolução da lente é de aproximadamente 130 linhas/mm.

A correção quase completa das aberrações esféricas resulta na aparência de pontos de desfocagem quase iguais para o primeiro plano e o fundo. Mas isso pode ser alcançado em óptica de alta abertura?

Correção de aberrações esferocromáticas em uma lente telefoto 150/1.4 particularmente rápida

Assim controlar a distorção longitudinal em lentes de alta abertura como pode ser visto no exemplo da Helios-40 85/1.5 é uma tarefa que requer o uso de circuitos ópticos mais complexos e materiais ópticos modernos. A correção da aberração esférica monocromática é obtida através do uso de vidros altamente refrativos, e a diferença cromática só pode ser reduzida através do uso de materiais com dispersão anômala: fluorofosfato, fosfato e coroas de fosfato pesado, sílex pesado de nióbio e tântalo, sílex especial.

Lentes rápidas sofisticadas e de alta qualidade são extremamente úteis em aplicações onde o conteúdo de informação da imagem é de valor primário e qualquer distorção óptica que degrade a qualidade é inaceitável. A astrofotografia é um excelente exemplo da aplicação de tal óptica: alta luminosidade útil para exposições rápidas, e as aberrações devem ser bem corrigidas para que as estrelas no quadro apareçam como pontos. Assim, as modernas lentes telefoto rápidas são adequadas para campos de estrelas cadentes: Samyang 135/2, Cânone 200/2.

Tendo em conta esta conhecida experiência, em 2022 tive a ideia de criar uma lente astrógrafa ultrarrápida com parâmetros 150/1.4, cujo cálculo foi implementado Vladimir Bogdankov (naquela altura não sabia contar óptica), e o desenho mecânico foi desenhado por Artyom Timirev - tendo em conta todos os conceitos e requisitos que lhe coloquei. O design óptico da lente foi patenteado por nós em 2024 (RU 2822998 C1).

A lente possui um design de nove elementos usando 4 lentes de vidro de baixa dispersão (tipo fluorita). Consideremos algumas de suas características no contexto do tema deste artigo.

Com base no gráfico da característica de contraste de frequência (MTF), fica claro que a lente tem uma alta resolução em abertura aberta - mais de 100 linhas/mm, o que, por exemplo, é inatingível para a Helios-40 em F /1.5. Os pontos de aberração com abertura total apresentam um halo esferocromático indistinto no centro da imagem e uma pequena cauda comática na borda do campo. Quando a abertura é reduzida para F/2, a qualidade da imagem torna-se excelente tanto na área central como em todo o campo: tanto o esferocromatismo como o coma desaparecem.

Na verdade: o diagrama de aberração longitudinal da lente indica que na zona da pupila ~F/2-F/1.4 pode-se observar aberração esférica não compensada, que é diferente para luz de diferentes comprimentos de onda. Além disso, é importante notar que mesmo na zona F/1.4 a extensão da aberração cromática é de apenas 300 mícrons. Para comparação: espectro secundário Tair-3 300/4.5 em F/4.5 é 1500 mícrons. Já em F/1.6-F/1.8 o esferocromatismo torna-se insignificante. Na área da pupila da lente até ~F/1.8, foi alcançada uma excelente compensação para a aberração esférica: o conjunto de curvas no gráfico de distorção longitudinal não vai para os lados e não dobra em lugar nenhum. Isso também é importante porque devido a essa correção a lente não sofre mudança de foco, o que é útil na astrofotografia.

Um alto grau de correção da distorção longitudinal leva ao fato de que o bokeh da lente na área central é completamente neutro: os pontos de desfocagem do fundo e do primeiro plano parecem idênticos - como os do Tair APO discutidos acima. Em campo, o mesmo efeito é alcançado em F/1.6-F/1.8, o que evidencia a eliminação do coma residual.

Conclusão

Assim, a distorção longitudinal – uma combinação de aberração esférica e cromatismo – tem uma influência decisiva na qualidade da imagem da lente e no seu padrão (bokeh). A correção da aberração esférica é realizada por meio da compensação mútua de seus componentes de diferentes ordens, o que leva a diversos tipos de correção na lente - suas curvas são apresentadas na figura abaixo.

Diagramas de pontos de desfocagem para a curva de cada um dos tipos em consideração, indicados por números, são apresentados abaixo para uma abertura aberta e quando a abertura é interrompida em 1 ponto.

Esses gráficos levam em consideração apenas a aberração esférica monocromática. No caso em que o esferocromatismo é fortemente expresso, faz sentido considerar separadamente as curvas para comprimentos de onda significativos, entendendo que a aparência final do bokeh será determinada pela superposição de todas as curvas de aberração.

Não se deve esquecer que muitos moderno и o velho as lentes possuem uma forma de curvas ainda mais complexa com um grande número de zonas de diferentes tipos de correção de aberração longitudinal, o que, no entanto, não nos impede de utilizar a abordagem descrita neste artigo para seu estudo.

Resulta também da análise que num sistema óptico complexo, equilibrando aberrações de diferentes ordens, é possível controlar de forma bastante flexível as distorções longitudinais em cada zona da pupila da lente. Isso significa que ao realizar um cálculo, se houver um número suficiente de parâmetros de design variáveis, você pode literalmente definir o padrão de lente necessário e controlar seu bokeh, sem comprometer muito a qualidade da imagem como um todo. Assim, calcular o padrão óptico é outra tarefa, além de garantir o nível de qualidade exigido, que deve ser realizada por um engenheiro óptico ao criar uma lente fotográfica.